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영인자(Zero Divisor)

• $A \neq O,\ B \neq O,\ AB = O$
• $ A \neq O,\ A^2 = O$
• 행렬 $A$와 행렬 $B$가 영행렬이 아님에도 불구하고, 행렬 $AB$를 행렬곱하였을 때, 영행렬이 나오는 경우
• 위에서 보듯 $A$는 제곱하였을 때, 영행렬이 나왔다. 영인자의 존재로 인해 행렬에서는 방정식의 근, 지수법칙을 사용할 수 없다.
• 고등학교 행렬 문제에서 영인자의 존재는 수많은 반례를 가지고 오므로, 요주의 대상이다.

1. 영인자의 곱 순서

$$AB = O\ \overset{F}{\rightarrow} BA = O$$

$$ AB = O\ \overset{F}{\rightarrow} BA \neq O $$

• 영인자는 특정한 배열의 곱에서만 영행렬이 된다.
• 물론, 예외 역시 존재하기 때문에 $AB = BA = O$이 되는 경우도 존재한다.

>>> mat1 = np.array([[0, 0],[2, -2]])
>>> mat2 = np.array([[1, 0],[1, 0]])
>>> np.dot(mat1, mat2)
array([[0, 0],
       [0, 0]])
       
>>> np.dot(mat2, mat1)
array([[0, 0],
       [0, 0]])

2. 영인자는 역행렬을 가지지 않는다.

2.1. 증명

• 다음과 같은 정사각행렬 $A$가 있다고 하자.
• $ A \neq O \rightarrow A^2 = O $
• 위 조건을 만족하는 행렬 $A$는 영행렬이 아니므로, 영인자이다.
• 정사각행렬이므로, 케일리 헤밀턴의 정리를 사용해보자
• $ A^2 - (a+d)A + (ad - bc)E = O $
• $A^2 = O$이고, $A \neq O,\ E \neq O$이므로, $(ad-bc)E = (a+d)A$가 성립해야한다.
• 그러나, 단위행렬의 배수는 제곱하여 영행렬이 될 수 없으므로, 영인자인 행렬 $A$는 단위행렬의 배수가 아니다.
• 그러므로, $(a+b)=0, (ad-bc)=0$이 성립한다.
• $ad-bc=0$이므로, 역행렬 생성 법칙에 따라, 영인자 $A$는 역행렬을 가질 수 없다.

2.2. 케일리 헤밀턴 정리(Cayley–Hamilton theorem)

• 이차 정사각행렬 $A$에 대하여 케일리 헤밀턴 정리를 사용하면, 행렬의 거듭제곱을 아주 쉽게 구할 수 있다.
• $A \neq kE$일 때 사용 가능하다(행렬 $A$가 단위행렬의 배수가 아닐 때).

$$ A = \begin{pmatrix}
a & b\\ 
c & d
\end{pmatrix} \neq kE $$

$$ A^2 - (a+d)A + (ad - bc)E = O $$

• 케일리 헤밀턴 정리 사용 예시

$$A = \begin{pmatrix}
1 & 2\\ 
3 & 4
\end{pmatrix}$$

$$A^2 - 5A -2E = O \rightarrow A^2 = 5A + 2E$$

2.3. 영인자와 역행렬 관계

• 위에서 봤듯이 영인자인 행렬은 역행렬이 존재할 수 없다.
• 반대로 말하자면, 역행렬이 존재하는 행렬은 영인자가 아니라는 소리다.
• 만약 행렬 $A$와 $B$가 역행렬이 존재한다면 영인자가 아니라는 의미이므로, 다음 공식이 성립한다.

$$(AB)^2 = A^2B^2 \ \overset{T}{\rightarrow}\ AB=BA$$

$$ABAB = AABB$$

$$A^{-1}ABABB^{-1} = A^{-1}AABBB^{-1}$$

$$BA = AB$$

• 그러나 행렬은 3차 이상에서부터는 성립하지 않는 경우가 많으므로 위 공식도 주의해야한다.

$$(AB)^3 = A^3B^3 \ \overset{F}{\rightarrow}\ AB=BA$$

$$ABABAB = AAABBB$$

$$A^{-1}ABABABB^{-1} = A^{-1}AAABBBB^{-1}$$

$$BABA = AABB$$

• $BABA = ABAB$와 $BA = AB$는 다르다.

3. 영인자와 지수법칙

• 영인자의 존재로 인해 행렬에서는 지수법칙을 사용하기가 어렵다.
• 영인자의 존재로 인해 행렬은 지수에 대하여 다음과 같은 성질을 갖는다.

$$A^n(n\geq 3)\ \overset{F}{\rightarrow}\ A=O$$

$$A^n(n\geq 3)\ \overset{T}{\rightarrow}\ A^2=O$$

• 영인자의 존재로 인해, 위 명제에서 행렬 $A=O$이라고 할 수 없다.
• 행렬 $A$가 영인자인 경우 $A^2=O$이므로, 그 이상의 차수에서도 모두 영행렬이 나오게 된다.

3.1. 지수법칙이 반드시 성립불가한 것은 아니다.

• 하나의 행렬에서는 지수법칙이 성립한다.

$$A^m*A^n = A^{m+n},\ (m, n \in N)$$

$$(A^m)^n = A^{mn}$$

• 그러나, 하나의 행렬이 아닌 경우에는 성립하지 않는다.
• 이는 교환법칙이 성립하지 않기 때문이다.

$$(AB)^n \neq A^nB^n$$

$$ABABABAB \neq AAAABBBB$$

3.2. 영인자와 지수법칙

$$(AB)^n = A^nB^n \overset{F}{\rightarrow} AB = BA$$

• 영인자의 존재로 인해 위 명제는 성립하지 않는다.

3.2.1. 증명

• $AB = O$로 영인자라고 가정해보자.
• 영인자의 성질로 인해 $BA \neq O$일 수 있다.

$$(AB)^n = O,\ A^nB^n = AA\cdots AABB\cdots BB = O$$

• 영인자 AB의 존재로 인해 $(AB)^n = A^nB^n$은 성립하였으나, $AB=BA$는 성립하지 않는다.

3.2.2. 역은 성립한다.

$$(AB)^n = A^nB^n \overset{T}{\leftarrow} AB = BA$$

• $AB = BA$라는 말은 $AB$가 영인자인 경우라 할지라도 $AB=BA=O$이 성립하고, 교환 법칙이 성립할수도 있다는 의미이기 때문이다.