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행렬의 성질

• 전제: $M_{(m*n)},\ A \in M,\ B \in M, \ C \in M$

1. 기본 연산

1.1. 행렬의 덧셈과 뺄셈

• $A + B \in M$, $A - B \in M$
• 동형인 행렬끼리만 +, -가 가능하다(행렬은 덧셈 뺄셈에 대하여 닫혀 있다.)

>>> Mat1 = np.arange(0, 15).reshape((3,5))
>>> Mat2 = np.full((3,5), 3)
>>> Mat1 + Mat2
array([[ 3,  4,  5,  6,  7],
       [ 8,  9, 10, 11, 12],
       [13, 14, 15, 16, 17]])
       
>>> Mat1 - Mat2
array([[-3, -2, -1,  0,  1],
       [ 2,  3,  4,  5,  6],
       [ 7,  8,  9, 10, 11]])

1.2. 행렬의 곱셈

• $AB^T \notin M$
• 행렬끼리 곱을 하면 행과 열의 모양이 바뀐다.
• 행렬끼리 곱을 하려면, 앞의 행렬의 열과 뒤의 행렬의 행의 크기가 동일해야 한다.
• 위 조건을 만족할 때, 출력된 행렬의 모양은 앞 행렬의 행($l$)과 뒤 행렬의 열($n$)의 모양인 행렬($l*n$)이 나온다.
• $(l * m) * (m * n) = (l * n) $ 
• 행렬은 행렬끼리의 곱에 대하여 닫혀있지 않다고 할 수 있으나, 정방 행렬 간의 곱에 대해서는 닫혀 있다고 할 수 있다.
  $m = n,\ AB \in M$

# 행렬 곱 시, 행렬의 모양이 바뀐다.
>>> Mat1 = np.arange(0, 15).reshape((3,5))
>>> Mat2 = np.full((3,5), 3)
>>> np.dot(Mat1, Mat2.T)
array([[ 30,  30,  30],
       [105, 105, 105],
       [180, 180, 180]])
       
# 정방행렬끼리의 곱을 하는 경우, 행렬 모양이 유지된다.
>>> Mat3 = np.arange(0, 9).reshape((3,3))
>>> Mat4 = np.full((3,3), 3)
>>> np.dot(Mat3, Mat4)
array([[ 9,  9,  9],
       [36, 36, 36],
       [63, 63, 63]])

2. 결합 법칙

2.1. 덧셈의 결합 법칙

• $(A+B)+C = A+(B+C)$
• 행렬의 덧셈과 뺄셈은 각 행렬의 형태가 동일해야 하며, 그 순서를 어떻게 하는지는 상관없다.

>>> Mat1 = np.arange(0, 15).reshape((3,5))
>>> Mat2 = np.repeat(np.array([1,2,3]), 5).reshape((3,5))
>>> Mat3 = np.array([[1,3,5,7,9],[2,4,6,8,10],[3,6,9,12,15]])
>>> (Mat1 + Mat2) + Mat3 == Mat1 + (Mat2 + Mat3)
array([[ True,  True,  True,  True,  True],
       [ True,  True,  True,  True,  True],
       [ True,  True,  True,  True,  True]])

2.2 곱셈의 결합 법칙

• $A(B^TC) = (AB^T)C$

>>> Mat1 = np.arange(0, 15).reshape((3,5))
>>> Mat2 = np.array([[1,3],[2,4],[3,6],[4,8],[5,10]])
>>> Mat3 = np.array([[1,3,5,7,9,11,13],[2,4,6,8,10,12,14]])
>>> np.dot(np.dot(Mat1,Mat2),Mat3) == np.dot(Mat1,np.dot(Mat2,Mat3))
array([[ True,  True,  True,  True,  True,  True,  True],
       [ True,  True,  True,  True,  True,  True,  True],
       [ True,  True,  True,  True,  True,  True,  True]])

3. 항등원(Identity Elementa)

3.1 행렬의 덧셈의 항등원

• $ A + O = O + A = A$
• 영행렬은 행렬의 덧셈의 항등원이다.
• 뺄셈은 부호가 바뀌게 되므로 항등원이 없다.

>>> Mat1 = np.arange(0, 15).reshape((3,5))
>>> Mat2 = np.zeros((3,5))
>>> Mat1 + Mat2 == Mat2 + Mat1
array([[ True,  True,  True,  True,  True],
       [ True,  True,  True,  True,  True],
       [ True,  True,  True,  True,  True]])

3.2. 행렬의 곱셈의 항등원

• $AE = EA = A$
• 모든 정방 행렬 $A$에 대하여 단위행렬 $E$를 곱하면 행렬 $A$가 나온다.

>>> Mat1 = np.arange(0, 16).reshape((4,4))
>>> Mat2 = np.identity(4)
>>> np.dot(Mat1, Mat2) == Mat1
array([[ True,  True,  True,  True],
       [ True,  True,  True,  True],
       [ True,  True,  True,  True],
       [ True,  True,  True,  True]])
       
>>> Mat1 == np.dot(Mat1, Mat2)
array([[ True,  True,  True,  True],
       [ True,  True,  True,  True],
       [ True,  True,  True,  True],
       [ True,  True,  True,  True]])

4. 역원

4.1. 덧셈에 대한 역원

• $A+(-A) = (-A) + A = O$

>>> Mat1 = np.arange(0, 12).reshape((4,3))
>>> Mat1 + (-Mat1) == (-Mat1) + Mat1
array([[ True,  True,  True],
       [ True,  True,  True],
       [ True,  True,  True],
       [ True,  True,  True]])
       
>>> Mat1 + (-Mat1)
array([[0, 0, 0],
       [0, 0, 0],
       [0, 0, 0],
       [0, 0, 0]])

4.2. 곱셈에 대한 역원

• $AA^{-1} = A^{-1}A = E$
• 역행렬을 갖지 않는 경우도 존재하므로, 항상 성립하는 것은 아니다.
• $AB = BA = E$인 경우 B는 A의 역행렬이다.

>>> Mat = np.array([[0, 1],[2, 3]])
>>> Inv_Mat = np.linalg.inv(Mat)
>>> np.dot(Mat, Inv_Mat)
array([[1., 0.],
       [0., 1.]])

4.3. 곱셈에 대한 역원에서 파생된 행렬 성질

• $A(A+B) = E \Rightarrow AB = BA$

4.3.1. 증명

• $A(A+B) = E$이므로, $A^{-1}$은 존재한다. $A^{-1} = (A+B)$이므로, 다음 식이 성립한다.

$$A(A + B) = (A + B)A\ \rightarrow \ A^2 + AB = A^2 + BA \ \rightarrow \ AB = BA$$

5. 교환 법칙

5.1. 행렬의 교환 법칙은 성립하지 않는다.

• $AB \neq BA$
• 교환법칙이 성립하지 않으므로 곱셈법칙, 지수법칙을 적용할 수 없다(항상은 아니며, 가능한 경우도 있으므로, 부분적으로 사용 가능하다).
• 대우: 곱셈법칙이 성립한다면 $AB = BA$가 성립한다. [거짓]
• 행렬에서는 대우 명제마저도 성립하지 않을 수 있다.

5.1.1 증명

$$(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\ \overset{T}{\rightarrow} \ AB = BA \cdots (1)$$

$$(A+B)^3 =  A^2 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 \ \overset{F}{\rightarrow} \ AB = BA \cdots (2)$$

• $AB$가 영인자인 경우, $A^2 + 3AAB + 3ABB + B^3 = A^3 + B^3 =  A^2 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$은 성립한다.
• $AB$는 영인자이므로, $AB=O$은 성립하나, $BA \neq O$이다.
• 행렬에서는 영인자의 존재로 인해 2차 함수에서 성립하는 것이 3차 함수 이상에서는 성립하지 않을 수 있다.

5.2. 교환 법칙 관련 재밌는 공식

• $A + B = AB$라면 $AB = BA$이다.

5.2.1. 증명

$$A + B = AB \rightarrow AB - A - B = O \rightarrow (A-E)(B-E)-E=O$$

$(A-E)(B-E)=E$이므로, $(A-E)^{-1},\ (B-E)^{-1}$이 존재한다.

$$ (A-E)(B-E)=E=(B-E)(A-E)\rightarrow BA -A-B=O $$

$$ \therefore AB = BA $$