중심경향치(1) - 최빈값, 중앙값

중심경향치(Center Tendency)

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◎ 중심경향치: 관찰된 자료들이 어디에 집중되어 있는지를 나타낸다.

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 통계학은 기본적으로 데이터가 어디에 모이고, 얼마나 흩어지는지를 통해서 데이터의 성격을 파악한다. 중심경향치는 데이터가 어디에 모이는지를 보는 것으로, 최빈값, 중앙값, 평균 등의 다양한 지표를 이용하여, 데이터가 모인 곳을 찾아낸다.

 그렇다면, 그 데이터가 모이고 흩어진다는 것이 대체 무슨 말일까? 이를 알기 위해, 이전 포스트에서 학습했던 내용을 바탕으로 이를 눈으로 확인해보자.

 

 

 

 

0. 데이터가 모이고 흩어진다는 것은 무엇일까?

• 이전 포스트에서 사용했던 데이터를 가지고 오고, 모든 변수들을 히스토그램으로 시각화해보자.

Data_for_study.csv

3.39MB

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Rawdata = pd.read_csv("Data_for_study.csv")

plt.rc('font', family='NanumGothic')
Rawdata.hist(figsize=(16,25), layout=(5,3), grid=False,density=True)

plt.show()

• 위 코드는 pandas와 matplotlib.pyplot 두 가지를 사용하여, DataFrame 내에 있는 변수들을 시각화해주며, 히스토그램은 그 변수가 무엇이든 간에, 그 변수의 빈도를 이용해 그래프를 그린다. 또한, bins 파라미터를 통해, 키, 몸무게 같은 비율 척도는 실제 형태보다 단순화시켜, 모든 변수들의 추이를 쉽게 파악할 수 있다.
• 위 히스토그램들을 보면, "주중_인터넷이용시간"은 주로 0 ~ 100 사이에 가장 많은 데이터가 모여 있으며, 흩어진 정도는 그리 크지 않다는 것을 알 수 있다.
• 이러한 변수별 데이터가 어디에 모여있는지를 하나의 값으로 확인할 수 있는 방법이 바로 중심경향치다.

 

 

 

 

1. 최빈값(Mode)

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◎ 최빈값(Mode): 빈도수가 가장 큰 관찰값

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• 도수분포표에서 가장 값이 많이 모여 있는 관찰 값을 의미한다.
• 양적 자료, 질적 자료에서 모두 사용되나, 일반적으로 질적 자료에서 더 자주 사용된다.
• 위에서 불러온 데이터에서 명목변수: "흡연경험", 등간변수(리커트 5점 척도): "스트레스인지", 비율 변수: "몸무게"에 대하여 최빈값을 구해보자.

 

1.1. 도수분포표를 사용하여 최빈값 구하기

• 최빈값을 구하는 방법은 도수분포표를 구하고, 가장 빈도수가 높은 관찰 값을 선택하는 방법이 있다.
• 연속형 변수를 구간 화하는 것은 꽤 귀찮은 일이므로, 20개 이상의 관찰 값을 갖는 경우, 10개의 구간을 갖는 변수로 변환하여 도수분포표를 출력하는 함수를 만들었다.

def make_freq_table(data, column):
    """
    -------------------------------------------------------------------------------
    지정된 변수의 관찰값이 20개보다 많은 경우, 10개의 등급을 가진 데이터를 반환한다.
    -------------------------------------------------------------------------------
    Input: DataFrame, str
    Output: DataFrame
    """
    # array 생성
    target_array = data[column].to_numpy()

    # class의 수가 20개보다 많은 경우 10개로 줄인다.
    class_array = np.unique(target_array)

    if len(class_array) > 20:

        min_key = class_array.min()
        max_key = class_array.max()
        split_key = np.linspace(min_key, max_key, 10)

        a0 = str(round(split_key[0], 2)) + " 이하"
        a1 = str(round(split_key[0], 2)) + " ~ " + str(round(split_key[1], 2))
        a2 = str(round(split_key[1], 2)) + " ~ " + str(round(split_key[2], 2))
        a3 = str(round(split_key[2], 2)) + " ~ " + str(round(split_key[3], 2))
        a4 = str(round(split_key[3], 2)) + " ~ " + str(round(split_key[4], 2))
        a5 = str(round(split_key[4], 2)) + " ~ " + str(round(split_key[5], 2))
        a6 = str(round(split_key[5], 2)) + " ~ " + str(round(split_key[6], 2))
        a7 = str(round(split_key[6], 2)) + " ~ " + str(round(split_key[7], 2))
        a8 = str(round(split_key[7], 2)) + " ~ " + str(round(split_key[8], 2))
        a9 = str(round(split_key[8], 2)) + " 이상"
        new_index = [a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9]


        target_array= np.where(target_array <= split_key[0], 0,
                               np.where((target_array > split_key[0]) & (target_array <= split_key[1]), 1,
                                        np.where((target_array > split_key[1]) & (target_array <= split_key[2]), 2,
                                                 np.where((target_array > split_key[2]) & (target_array <= split_key[3]), 3,
                                                          np.where((target_array > split_key[3]) & (target_array <= split_key[4]), 4,
                                                                   np.where((target_array > split_key[4]) & (target_array <= split_key[5]), 5,
                                                                            np.where((target_array > split_key[5]) & (target_array <= split_key[6]), 6,
                                                                                     np.where((target_array > split_key[6]) & (target_array <= split_key[7]), 7,
                                                                                              np.where((target_array > split_key[7]) & (target_array <= split_key[8]), 8, 9)))))))))


    # 도수분포표 생성
    freq_table = pd.DataFrame(pd.Series(target_array).value_counts(), columns = ["freq"])
    freq_table.index.name = column

    freq_table.sort_index(inplace = True)
    freq_table["ratio"] = freq_table.freq / sum(freq_table.freq)
    freq_table["cum_freq"] = np.cumsum(freq_table.freq)
    freq_table["cum_ratio"] = np.round(np.cumsum(freq_table.ratio), 2)
    freq_table["ratio"] = np.round(freq_table["ratio"], 2)

    if "new_index" in locals():
        freq_table.index = new_index
        freq_table.index.name = column

    return freq_table

• np.linspace(start, end, num): start부터 end까지 num개를 일정한 간격으로 자르는 함수로, 아주 간편하게, 연속형 데이터를 범주화할 수 있다.
• 흡연경험의 도수분포표

make_freq_table(Rawdata, "흡연경험")

• 명목 변수인 흡연경험의 최빈값은 1.0인 것을 알 수 있다. 청소년건강행태조사 이용지침서 참고 시, "없다"가 88%로 가장 많이 등장하였다.

make_freq_table(Rawdata, "스트레스인지")

• 등간 변수(리커트 척도)인 스트레스인지의 최빈값은 3.0인 것을 알 수 있다. 청소년건강행태조사 이용지침서 참고 시, "조금 느낀다"가 가장 많이 등장하였다.

make_freq_table(Rawdata, "몸무게")

• 비율 변수인 몸무게에서 제일 많이 등장한 등급(Class)는 45.87 ~ 56.3 kg인 것을 알 수 있다. 표본집단인 중·고등학생 중 36%가 해당 구간에 존재한다.

 

1.2. 파이썬을 이용하여 최빈값 구하기

• 도수분포표를 일일이 구하고, 최빈값을 구하는 일은 꽤 번거로운 일이다.
• 데이터 분석에서 기본적으로 사용되는 라이브러리 중 하나인 pandas는 다양한 기본 함수를 제공하여, 이러한 문제를 쉽게 해결할 수 있게 해 준다.
• Series.mode(): 최빈값을 출력한다.

>>> 흡연경험_최빈값 = Rawdata.흡연경험.mode()
>>> 흡연경험_최빈값
0    1.0
dtype: float64


>>> 스트레스인지_최빈값 = Rawdata.스트레스인지.mode()
>>> 스트레스인지_최빈값
0    3.0
dtype: float64


>>> 몸무게_최빈값 = Rawdata.몸무게.mode()
>>> 몸무게_최빈값
0    60.0
dtype: float64

• Series.mode()는 Series로 결과를 출력한다.
• 양적 변수라 할지라도, 바로 최빈값을 찾는 경우, 굳이 도수분포표를 만드는 수고를 할 필요가 없으므로, 구간을 만드는 수고를 하지 않아도 된다.
• 이번에는, 최빈값에 해당하는 빈도수를 출력해보자.

# 최빈값과 최빈값 도수 출력
def mode_value_printer(data, column):
    
    mode_ = data[column].mode().values[0]
    freq =len(data[data[column] == mode_])
    
    print(f"{column} - 최빈값: {mode_}, 도수: {freq}")

>>> mode_value_printer(Rawdata, "흡연경험")
흡연경험 - 최빈값: 1.0, 도수: 48995

>>> mode_value_printer(Rawdata, "스트레스인지")
스트레스인지 - 최빈값: 3.0, 도수: 22915

>>> mode_value_printer(Rawdata, "몸무게")
몸무게 - 최빈값: 60.0, 도수: 2350

• 보시다시피 pandas 기본 함수를 사용하면, 아주 쉽게 최빈값과 그에 해당하는 도수를 찾을 수 있다.
• 그러나, 양적 변수, 그중에서도 관찰 값이 매우 많은 변수는 범주화를 시키는 것과, 단순하게 가장 많이 등장한 관찰 값을 찾는 것이 다른 결과를 가져온다.
• 때문에 양적 변수에서는 중심경향치를 확인하고자 할 때, 최빈값보다는 평균, 중위수와 같은 다른 값을 추출하는 경우가 더 많다(물론, 연구자의 의도에 따라 최빈값 역시 필요할 수 있으므로, 절대 양적 변수에 최빈값을 사용하지는 않는다고 생각해선 안된다).

 

 

 

 

2. 중앙값(Median)

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◎ 중앙값(Median): 수치로 된 자료를 크기 순서대로 나열할 때, 가장 가운데에 위치하는 관찰값을 말한다.

$$Md = \frac{(n+1)}{2}$$

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• 중앙값은 순서, 일정한 간격을 가지고 있는 양적 변수에 대해서만 사용 가능하며, 말 그대로 한 변수 내 모든 관찰값들의 중앙에 있는 값을 가리킨다.
• 중앙값에서 이슈라고 할 수 있는 것은 관찰값의 수가 짝수인지 홀수인지로, 아래 예시를 보자.

$$ A = {1, 3, 4, 7, 8, 10, 11, 15, 16}$$

• 위 예시 같이 집합 내 원소의 수가 홀수인 경우에는 그냥 $\frac{9+1}{2}=5$에 있는 관찰값을 중앙값으로 하면 되지만, 짝수인 경우는 조금 다르다.

$$ B = {2, 4, 6, 7, 9, 10} $$

• 위 예시 같이 집합 내 원소의 수가 짝수인 경우에는 $\frac{6+1}{2} = 3.5$가 되어, 3.5번째에 있는 관찰값을 중앙값으로 사용해야 하나, 3.5번째 관찰값은 존재할 수 없다.
• 이 때는, 3번째 관찰값인 6과 4번째 관찰값인 7의 평균을 중앙값으로 사용한다. 즉, $\frac{6+7}{2} = 6.5$가 중앙값이 된다.

 

2.1. 도수분포표를 이용하여 연속형 데이터의 중앙값 구하기

• 중앙값은 관찰값들의 중앙에 있는 값이므로, 도수분포표를 사용하지 않고 구할 수 있고, 그것이 정석이다.
• 그러나, 항상 모든 관찰값들을 알 수 있는 것이 아니고, 때에 따라서는 도수분포표를 사용해서 중앙값을 유추해야할 필요도 있다.
  (물론, 원시자료를 손 델 수 있다면, 굳이 그럴 필요는 없지만!)
• 이번에는 범주화된 연속형 데이터의 도수분포표를 이용해서 중앙값을 구해보자.
• 위에서 만든 make_freq_table함수를 이용해서 키에 대한 도수분포표를 만들어보자.

make_freq_table(Rawdata, "키")

• 총데이터의 양은 55748개이며, 55748의 중앙값은 $\frac{55748+1}{2} = 27874.5$이다. 즉, 27,874.5번째에 있는 값이 있는 구간이 중앙값이다.
• 누적빈도를 볼 때, 27,874.5는 162.67 ~ 169.33 구간에 존재하므로, 중앙값이 있는 구간은 162.67 ~ 169.33임을 알 수 있다.
• 이 구간 안에서 비율을 사용해서 중앙값을 유추해보자

• 위 방법처럼 관찰 값의 비율과 빈도의 비율을 이용하면, 중위수를 유추해낼 수 있다.
• 실제 중위수랑 비교해보자.

>>> Rawdata.키.median()
165.0

• 실제 중위수와 도수분포표를 사용해서 유추한 중위수가 상당히 유사한 것을 알 수 있다.

 

2.2. 파이썬을 이용하여 중위수 구하기

• 파이썬을 이용해 중위수를 구하는 것은 정말 단순하다.

>>> Rawdata.스트레스인지.median()
3.0

>>> Rawdata.몸무게.median()
57.0

• Series.median()을 사용하면, 중위수를 구할 수 있다.
• numpy 함수를 사용하는 경우는 다음과 같다.

>>> np.median(Rawdata.스트레스인지.to_numpy())
3.0

>>> np.median(Rawdata.몸무게.to_numpy())
57.0

• np.median(array)를 사용해서 중위수를 구하면 된다.

 

 

 

 지금까지 최빈값과 중앙값을 구해보았다. 다음 포스트에서는 가장 대표적인 중심경향치인 평균에 대해 자세히 알아보도록 하겠다.